Nếu chỉ xét các trường vectơ trong không gian 2 chiều,định lý Green là tương đương với phiên bản 2 chiều sau đây của định lý Gauss:

∬ D ( ∇ ⋅ F ) d A = ∮ C ⁡ F ⋅ n ^ d s , {\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,}

với n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } là véc tơ định chuẩn hướng ra ngoài trên biên.

Để thấy điều này, xét vec tơ định chuẩn n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } ở tay phải của phương trình. Bởi vì trong định lý Green d r = ( d x , d y ) {\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy)} là một vecto đi theo hướng tiếp tuyến với đường cong, và đường cong C được định hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ) dọc theo biên, vectơ định chuẩn hướng ra ngoài sẽ chỉ vuông góc 90° về phía phải, và sẽ là ( d y , − d x ) {\displaystyle (dy,-dx)} . Chiều dài của vec tơ này là d x 2 + d y 2 = d s {\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds} . Do vậy n ^ d s = ( d y , − d x ) . {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \,ds=(dy,-dx).}

Bây giờ hãy để F = ( P , Q ) {\displaystyle \mathbf {F} =(P,Q)} . Khi đó vế phải sẽ trở thành

∮ C ⁡ F ⋅ n ^ d s = ∮ C ⁡ P d y − Q d x {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds=\oint _{C}Pdy-Qdx}

mà do định lý Green sẽ trở thành

∮ C − Q d x + P d y = ∬ D ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y ) d A = ∬ D ( ∇ ⋅ F ) d A . {\displaystyle \oint _{C}-Qdx+Pdy=\iint _{D}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)\,dA=\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA.}

Điều ngược lại cũng có thể được chứng minh một cách dễ dàng.